Préciser la nature de la série de terme suivante : $$\sum\frac1{n^2+3}$$

\(\forall n\in{\Bbb N}\), on a : $$\frac1{n^2+3}\leqslant\frac1{n^2}$$
\(\sum\frac1{n^2}\) est une série de Riemann convergente, donc la série converge

(Série de Riemann (Convergence))

Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\frac1{\ln n}$$

Croissances comparées avec \(\ln\)
On a : $$\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t^a}=0\quad\text{ avec }\quad a\gt 0$$
Donc $$\lim_{t\to+\infty}\frac{t^a}{\ln n}=+\infty$$

Définition de la limite
Cela signifie $$\forall M\gt 0, \exists A\gt 0,\forall t\geqslant M,\quad\frac{t^{1/2}}{\ln t}\geqslant M$$
Prenons \(M=1\)

On a donc : $$\begin{align}&\frac{n^{1/2}}{\ln n}\geqslant1\\ \implies&\frac{1}{\ln n}\geqslant\frac1{n^{1/2}}\end{align}$$
La série est donc majorée par la série \(\sum\frac1{n^{1/2}}\), qui est une série de Riemann divergente.
Donc la série diverge

(Série de Riemann (Convergence))

Préciser la nature de la série suivante : $$\sum n^2e^{-n}$$

Croissances comparées
On a \(n^2e^{-n}=\frac{n^2}{e^n}\) et d'après une croissance comparée, on a : $$\forall a\gt 0,\lim_{t\to+\infty}\frac{t^a}{e^t}=0$$

De plus, d'après la définition de la limite, on a : $$\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\frac{n^2}{e^n}\leqslant1\iff\frac{n^2}{e^n}\leqslant\frac1{n^2}$$
La série est donc inférieure à la série de Riemann \(\sum\frac1{n^2}\), qui est convergente.
Elle est donc convergente

(Série de Riemann (Convergence), Fonction exponentielle, Limite)

Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\frac{\ln n}{n^2}$$

Croissances comparées
Par croissance comparée, on a : $$\frac{\ln n}{n^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

Séparer en un produit d'une série majorée et d'une série de Riemann
On a : $$\frac{\ln n}{n^2}={\frac{\ln n}{n^{1/2}}}\times\frac1{n^{3/2}}$$avec \(\frac{\ln n}{n^{1/2}}\) une suite qui converge vers \(0\) et majorée par \(M\gt 0\)

La série est donc inférieure à $$\sum M\frac1{n^{3/2}}=M\sum\frac1{n^{3/2}}$$
Puisque \(\sum\frac1{n^{3/2}}\) est une série de Riemann convergente, la série converge

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Croissances comparées), Série de Riemann (Convergence))

Préciser la nature de la série suivante : $$\sum\int^{1/2}_0\frac{t^n}{1+\sqrt t}\,dt$$

Majorer l'intégrale par une intégrale qu'on sait calculer
Le dénominateur étant plus grand que \(1\), on a : $$\int^{1/2}_0\frac{t^n}{1+\sqrt t}\,dt\leqslant\int^{1/2}_0{t^n}\,dt=\left.\frac{t^{n+1}}{n+1}\right|^{1/2}_0=\frac1{n+2}\frac1{2^{n+1}}$$

De plus, $$\frac1{n+1}\frac1{2^{n+1}}\leqslant\frac1{2^{n+1}}$$

\(\sum\frac1{2^{n+1}}\) est une série géométrique, elle est donc convergente
La série étant majorée par une série convergente, elle est convergente

(Intégrale - Intégration, Série géométrique)

Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\sin\left(\frac\pi{2^n}\right)$$

Équivalence de la fonction sinus
On a \(\frac\pi{2^n}\longrightarrow0\) et \(\sin x\underset0\sim x\), donc : $$\sin\left(\frac\pi{2^n}\right)\underset0\sim\frac\pi{2^n}$$

\(\sum\frac\pi{2^n}=\pi\sum\frac1{2^n}\) est une série géométrique de terme général inférieur à \(1\), donc elle converge
La série est donc convergente

(Sinus (Equivalence), Série géométrique)

Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\left(1+\frac{(-1)^n}2\right) a^n\quad\text{ avec }\quad a\gt 0$$

Encadrement
On a toujours : $$\frac12\leqslant1+\frac{(-1)^n}2\leqslant\frac32$$

La série est donc encadrée par les séries géométriques \(\frac12\sum a^n\) et \(\frac32\sum a^n\)
Donc si \(a\geqslant1\), alors la série diverge
Et si \(0\lt a\lt 1\), alors la série converge

(Série géométrique (Convergence))